Le texte qui suit est issu de notes prises au cours de l'exposé de Roland CHARNAY. Celui-ci a participé à l'élaboration des programmes aussi bien de l'école que de sixième ; il est par ailleurs professeur d'I.U.F.M. et il connait particulièrement bien les problèmes de l'enseignement des mathématiques dans le premier degré. Son intervention s'est située dans la perspective de mise en évidence d'axes de travail possibles entre enseignants sur le thème de l'articulation école - collège, articulation qui est explicitement mentionnée à plusieurs reprises dans le nouveau programme de sixième.

En introduction, quelques repères sur des ruptures entre l'école et la sixième

- L'importance et la nature de l'écrit demandé et manipulé en sixième ont été pointées par Roland CHARNAY parmi les ruptures (les élèves disent : "les mots employés par le professeur sont plus compliqués", "le professeur explique plus rapidement", ...). Si cette différence traduit le passage progressif du savoir-faire vers le savoir, il importe sans aucun doute d'être attentif à cette difficulté particulière ; le programme de sixième précise, dans la rubrique "Organisation de l'enseignement" : "le vocabulaire et les notations ne doivent pas être fixés d'emblée [..] ; l'objectif est d'entraîner les élèves à mieux lire et mieux comprendre un texte mathématique et aussi à produire des textes dont la qualité est destinée à être l'objet d'une amélioration constante ... ".

Dans le cadre d'une liaison entre enseignants des deux degrés, il serait pertinent d'entreprendre la comparaison d'écrits, aussi bien ceux soumis aux élèves et ceux qu'ils produisent (ce qui se produit en classe, ce qui s'écrit dans les manuels, ce qu'écrivent les élèves par exemple en traitant un exercice, ...).

Pertinent aussi, à propos de la difficulté que représente pour les élèves la lecture de textes mathématiques, de travailler sur l'articulation entre la maîtrise de compétences de lecture en général et celle de connaissances en mathématiques ; en effet pour lire un texte mathématique il faut, certes, savoir lire un texte, mais aussi avoir des connaissances en mathématiques.

- L'autonomie attendue des élèves n'est pas la même. Si il peut apparaître une certaine perte d'autonomie lors du passage de l'école au collège, c'est que l'enfant découvre un nouveau contrat avec les professeurs, de nouvelles habitudes à prendre, ... (ce regret d'une insuffisante autonomie, qui est exprimé parfois par les enseignants de sixième, est également exprimé par ceux de seconde, lors de l'entrée au lycée !).

Roland CHARNAY a repéré un travail possible, entre enseignants des deux niveaux, sur leurs attentes à ce sujet.

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DANS LES PROGRAMMES
De nombreuses notions figurent à la fois dans le programme du cycle des approfondissements et dans celui de sixième. Ces notions ne sont pas envisagées de la même manière dans les deux cas et il y a lieu d'être particulièrement attentif au changement de rapport aux objets mathématiques qu'il importe de rendre progressif : les notions sont utilisées à l'école de façon pragmatique pour résoudre des problèmes ou décrire une figure observée, elles sont progressivement formalisées au collège tandis que les connaissances acquièrent une portée plus générale.

Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances est affirmé dans tous les programmes. La nature des problèmes proposés pourrait être également un thème de travail entre enseignants dans le cadre de la liaison école-collège, permettant à chacun d'affiner la distinction entre une démarche de construction des connaissances, qui suppose à la fois complexité suffisante de la situation et vision assez large des savoirs, et une démarche d'évaluation de compétences, qui conduit à isoler des éléments de savoir.

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A propos des nombres entiers naturels
- Le sens des opérations n'est pas complètement acquis, a noté Roland CHARNAY.
Le cas de la division est pointé dans le programme de sixième. Il importe de poursuivre un travail sur le sens (situations de division qui peuvent être résolues par des procédures personnelles comme essais, soustractions réitérées, produits à trous, ..) et un travail sur l'algorithme de la division (maintenir la pose effective des produits partiels et des différences permet le rappel du sens, allège la charge de travail mental et facilite les contrôles a postériori). L'objet de réunions de concertation sur le thème de la liaison entre école et collège pourrait être de programmer l'apprentissage de cette opération sur plusieurs années.
Il importe aussi, au collège, d'entretenir les connaissances sur les sens de la multiplication : introduite comme addition réitérée, elle est aussi dénombrement de carreaux d'un quadrillage, aire du rectangle, moyen de dénombrer dans une situation de combinatoire. Ces ruptures de sens peuvent ne pas avoir été suffisamment éclairées à l'école ou perçues par tel élève.
- Les techniques opératoires de l'addition, de la soustraction et de la multiplication sont maîtrisées à un niveau comparable à celui constaté dans les décennies précédentes : c'est ce que révèlent les diverses évaluations. Mais, il y lieu d'entretenir ces compétences, notamment la connaissance des tables de multiplication ou l'exécution de multiplications rendues délicates par la présence de zéros intercalaires "dans des situations n'exigeant pas de virtuosité technique" selon les termes du programme de sixième.
- Le calcul mental, appelé calcul réfléchi à l'école, a fait l'objet d'un plaidoyer de l'intervenant, en direction aussi bien des enseignants de l'école que de ceux du collège. La familiarité nécessaire avec les "relations entre entiers inférieurs à 100" (tel est le produit des tels,..) est à construire à l'école et à entretenir : elle est mobilisable, et presque indispensable, dans des problèmes de calcul mental, des situations de proportionnalité, des activités de contrôle de la pertinence de résultats obtenus à la calculatrice (un tel contrôle a été mentionné comme difficile pour beaucoup d'élèves à l'école).

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A propos des décimaux et des écritures fractionnaires
Ce domaine est sans doute celui où le plus grand travail se révèle nécessaire dans le cadre de la liaison école-sixième ; c'est aussi celui où les plus grands changements de programme sont opérés, tant à l'école (le produit des décimaux disparaît) qu'au collège. Il faut d'ailleurs noter que ces modifications de programmes accompagnent des constats lors de l'évaluation à l'entrée en sixième.
A l'école, seules quelques fractions simples usuelles (demi, tiers, quart, fractions décimales) sont utilisées par les élèves et éventuellement travaillées plus longuement pour l'introduction des décimaux (sens : 3/4, c'est l'unité partagée en 4 dont on prend 3 morceaux). C'est seulement en 6ème qu'on se propose d'étendre la signification de l'écriture a/b et de lui donner le statut de nombre (3/4, c'est 3 partagé en 4 ou 3 divisé par 4 ; c'est le nombre qui multiplié par 4 donne 3 ou la solution de 4x = 3 ; 3/4 peut aussi avoir une signification de proportion : c'est 3 pour 4, comme 75 pour 100)
Les nombres décimaux : Le sens même de l'écriture à virgule est à consolider, ou reprendre, en sixième pour assurer une bonne compréhension des règles de comparaison et de calcul. Plusieurs significations sont, en effet, à mettre en place et, sur ce point encore, une concertation entre enseignants des deux degrés peut être plus que bénéfique, afin de respecter la progressivité nécessaire et afin de consacrer à chaque étape un temps suffisant pour ne pas priver les élèves de la référence au sens. Ces significations : autre écriture des fractions décimales (sens de 1/10, 1/100, ..), outil pour la mesure des grandeurs, repérage de points sur la droite numérique (aspect important pour les comparaisons, encadrements, approximations), approche d'un quotient (travaillé à partir de la division prolongée au delà de la virgule : longueur obtenue en partageant 26 cm en 7 et non valeur approchée de la fraction-nombre 26/7).
Le programme du cycle des approfondissements ne mentionne que le produit d'un décimal par un entier (les compétences à atteindre mentionnent cependant "l'aire du rectangle " et "le périmètre du cercle", le recours à la calculatrice s'imposera donc).
C'est en sixième qu'il y aura lieu de gérer la construction du sens de cette opération et la rupture avec l'addition réitérée (sens auquel on se refère dans le cas du produit d'un décimal par un entier) ; ceci se fera par un travail sur des produits de mesures (aire du rectangle), sur des situations de proportionnalité simples (prix d'une quantité, connaissant le prix de l'unité). Il importe également d'être attentif à l'installation de la commutativité de la multiplication, qui ne va pas de soi (rupture avec l'addition réitérée, encore une fois).

Roland CHARNAY a eu cette formule : "au cycle des approfondissements, faire vivre les décimaux, garder une référence constante au sens, ne pas mettre en place d'algorithme ou de procédure standard prématurés ; en sixième, avoir conscience de ce qui reste à faire et ne pas se limiter à des exercices techniques".

La proportionnalité : cette notion ne figure pas explicitement au programme de sixième ; quant à la rédaction de celui du cycle des approfondissements, elle n'est pas sans poser des questions ("reconnaître une situation de proportionnalité" -il faudrait donc la connaître - "la traiter par des moyens de son choix"). Il importe, ici encore, de ne pas brûler les étapes en ce qui concerne la formalisation et la généralisation, de ne pas anticiper sur les programmes ultérieurs : on veillera, à chaque niveau, à proposer des situations qui amènent à faire fonctionner un certain outil, sans étudier l'objet en lui-même.

Tant à l'école qu'en sixième, le traitement restera contextualisé ; les élèves développeront des procédures personnelles, par exemple à propos du produit de décimaux (calcul du prix de 3,5 kg comme somme de celui de 3 kg et de 500 g, moitié du kg), l'apprentissage des procédures expertes (passage à l'unité, coefficient de proportionnalité,...) se faisant à partir de la cinquième.

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A propos des travaux géométriques
Les nouveaux programmes de l'école n'apportent pas de modifications majeures, mais une limitation en ce qui concerne les transformations géométriques (abandon de translation et rotation) ; le parallélogramme disparaît des figures à étudier.

A l'école, il s'agit d'une géométrie expérimentale, visant à favoriser, à travers les activités "reproduire, décrire, représenter, construire", la construction d'images mentales ; ces activités sont l'occasion de doter les élèves de compétences techniques dans le maniement de la règle, l'équerre et le compas, et de mettre en place un vocabulaire minimal, précis. Le travail sur les angles est très limité, et en particulier le rapporteur n'est pas utilisé.

En sixième, on ne travaille pas sur des objets nouveaux ; il s'agit de stabiliser les acquis de l'école, de les hiérarchiser en vue d'une préparation à la déduction. On travaille le passage d'une lecture globale d'une figure à une lecture ponctuelle. A ce propos, il convient d'être attentif à l'introduction des lettres pour désigner des points : leur usage n'est pas introduit à l'école et les conventions qui y sont liées doivent être apprivoisées.

La progressivité et la mise en cohérence des approches dans les deux degrés est un nouveau thème d'échanges lors de réunions entre enseignants.

La mesure. Encore un domaine où des allègements ont été introduits à l'école : disparition de toute compétence sur les volumes (seules demeurent les compétences relatives aux capacités) et disparition de l'aire du disque.

Il demeure cependant un chevauchement entre le programme du cycle des approfondissements et celui de sixième à propos des notions d'aire et de périmètre. Il apparaît qu'en 6ème, il y aurait lieu de retenir comme objectifs : retour sur la distinction entre aire et périmètre, travail conjoint sur décimaux et aire du rectangle, travail sur longueur du cercle, en tant que situation de proportionnalité. Ceci suppose qu'à l'école, on travaille pour assurer de solides compétences concernant la mesure des longueurs et des masses, pour mettre en place la notion d'aire, distinguée de celle du périmètre et limiter le travail sur les formules.

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Puissance N°2